"Пожива для розуму" грудень
Зроби все, що зможеш,
а в усьому іншому покладися на долю.
Японська мудрість
5-6 клас
1. Чотири хлопці приймали участь в забігу на 100 метрів. Одразу по завершенню забігу вони сказали кореспонденту газети таке:
• Андрій: «Я не був ні першим, ані четвертим».
• Богдан: «Я не був четвертим».
• Василь: «Я був першим».
• Грицько: «Я був четвертим».
Виявилося, що троє сказали правду. А один помилився. Хто з хлопців помилився? Вкажіть усі можливі варіанти.
2. Знайдіть число, яке отримується якщо від найбільшого трицифрового числа, у якого цифра одиниць у 4 рази більше від цифри сотень, відняти число, що у три рази більше від найбільшого парного двоцифрового числа.
3. Знайдіть усі трицифрові числа, які стають у 15 разів менше при викреслюванні середньої цифри.
4. Кубик з ребром 1 розрізаний на 27 менших кубиків зі стороною 1. Після цього маленький кубик був пофарбований у білий колір, а 6 інших – у чорний. Після цього з малих кубиків знову склали великий таким чином, щоб частина поверхні великого кубика мала якомога менше чорних шматків. Яку частину за таких умов від усієї площі поверхні куба утворюють чорні частини?
5. Розглянемо множину А , яка складається з усіх трицифрових чисел abc, цифри якої є трьома послідовними цілими числами у будь-якому порядку, наприклад, числа 354 та 765 належать множині A, а число 667 -- ні. Скільки усього чисел містить множина A?
6. Четверо студентів сіли з круглий стіл так, що між кожними сусідами була однакова кількість порожніх стільців. Коли шість студентів сіли за той самий стіл, то вони так само змогли сісти так, щоб між кожними сусідами була однакова кількість порожніх стільців, при цьому на 2 менше ніж в перший раз. Скільки усього стільців було розставлено за цим столом?
7. Запишіть в клітини таблиці 3x3 числа 1,2,3,...9 (по одному в кожну клітинку) таким чином, щоб сума трьох добутків чисел кожного рядку була непарною, а сума трьох добутків чисел кожного стовпчика ділилась на 16.
8. Відрізок АВ довжиною 1800 розташований горизонтально так, що його лівим краєм є точка А . На цьому відрізку вибрані точки С,D,E таким чином, що AC = BD = 1100 та AE у 3 рази більше за CD. В якому порядку зліва направо можуть бути розташовані точки A,B,C,D,E ?
9. Тарасик вирішив виписати по черзі деякі 100 натуральних чисел за таким правилом. Спочатку він написав число 1. Кожне наступне число має відрізнятися від попереднього рівно на 1 -- більше чи менше. Яким може бути останнє написане ним число? Вкажіть усі можливі відповіді.
10. Поштар розносив святкові картки 7 днів – з понеділка по неділю. При цьому він кожного наступного дня розніс удвічі більше мінус одна картка у порівнянні з попереднім днем. Наприклад, якщо в середу він розніс 50 карток, то в четвер мав рознести 99 . Скільки карток він розніс за тиждень, якщо в один з днів він розніс рівно 4 картки?
12. Прямокутник розрізаний на 9 менших прямокутників, як це показане на рис 1. Відомо, що сума периметрів сірих прямокутників дорівнює 8, а сума периметрів білих прямокутників – 10. Чому дорівнює периметр великого прямокутника?
13. Знайдіть усі можливі розфарбування чисел множини А={1,2,3,...10} у червоний та зелений колір, що задовольняють такі умови
• Число 5 -- червоне.
• Якщо х,у -- різного кольору та х+у <10, то х+у -- зелене.
• Якщо х,у -- різного кольору та ху <10 , то ху -- червоне.
14. Табличка множення містить множення чисел від 1 до 9 . Вчитель задав по черзі – Андрієві, Богдану, Василю, Ганусі та Даринці – по одному прикладу з цієї таблички, при цьому жодна дитина не отримала завдання на множення однакових чисел. Виявилося, що у кожного відповідь була у 2 рази більше від попереднього. Які числа множила Ганнуся? Вкажіть усі можливі відповіді.
15. Розшифруйте числовий приклад на множення, що записаний на рис. 2. У відповідь запишіть значення добутку.
При розв’язуванні різних математичних задач застосовується спеціальний метод, що отримав назву: принцип Діріхле. Існує кілька формулювань даного принципу.
Найпопулярніше наступне:
«Якщо в n клітинах сидить m зайців, причому m> n, то хоча б в одній клітці сидять, принаймні два зайці».
Ще застосовується таке формулювання:
«Нехай в n клітинах сидять m зайців, причому n> m. Тоді знайдеться хоча б одна порожня клітка ».
Доводиться даний метод легко в 7 класі методом докази від протилежного.
На перший погляд, незрозуміло, чому це абсолютно очевидне твердження є потужним математичним методом розв’язування завдань, причому найрізноманітніших. Вся справа виявляється в тому, що в кожній конкретній задачі нелегко зрозуміти, що ж тут виступає в ролі «зайців», а що - в ролі «клітин». І чому треба, щоб «зайців» було більше, ніж «клітин». Вибір «зайців» і «клітин» часто неочевидний.
Далеко не завжди за формулюванням завдання можна визначити, що слід застосувати принцип Діріхле. Головна ж перевага даного методу розв’язування в тому, що він дає неконструктивне розв’язування , спроба ж дати конструктивне розв’язування призводить до великих труднощів. Розглянемо приклади різних завдань, що розв’язування за допомогою принципу Діріхле.
1)У класі 15 учнів. Доведіть, що знайдуться як мінімум 2 учні, які відзначають дні народження в один місяць.
2) Всередині рівностороннього трикутника зі стороною 1 см розташовано 5 точок. Доведіть, що відстань між деякими двома з них менше 0,5 см.
3) Дано 12 цілих чисел. Доведіть, що з них можна вибрати два, різниця яких ділиться на 11.
4) У килимі розміром 3х3 метра Коля виконав 8 дірок. Доведіть, що з нього можна вирізати килимок розміром 1х1 метр, який не містить в собі дірок. (Дірки можна вважати точковими.)
5) Дано 9 цілих чисел. Доведіть, що з них можна вибрати два, різниця яких ділиться на 8.
6) В класі 35 учнів. Чи можна стверджувати, що серед них знайдуться хоча б два учня, прізвища яких починаються з однієї літери?
7) У лісі росте мільйон ялинок. Відомо, що на кожній з них не більше 600 000 голок. Доведіть, що в лісі знайдуться дві ялинки з однаковою кількістю голок.
8) На дискотеку в студентський гуртожиток, в якому 42 кімнати, прийшло 36 гостей. Доведіть, що знайдеться кімната, в яку не прийшов жоден гість.
9) В класі 26 учнів, з них більш половини - хлопчики. Доведіть, що якісь 2 хлопчика сидять за одним столом, якщо в класі 13 столів.
10) Усередині правильного шестикутника зі стороною 1 см розташовано 7 точок. Доведіть, що відстань між деякими двома точками менше, ніж 1 см.
11) В вершинах квадрата записані числа 3,1,2,5. Дозволяється додавати до будь-яких двох числах, хто стоїть в квадраті, одне і те ж ціле число. Чи можна через кілька ходів отримати у всіх вершинах однакові числа?
12) Є два відра - одне місткістю 4 літри, інше 9 літрів. Чи можна набрати з річки рівно 6 літрів води?
Завдання - жарти.
1) Як одним мішком пшениці, змоловши його наповнити два таких же мішка?
2) Що це: дві голови, дві руки, шість ніг, а йдуть або біжать тільки чотири?
3) Якось у свято один знайомий сказав мені: «Позавчора мені було 40 років, а в майбутньому році виповниться 43 роки». Чи могло таке бути ?
Варіант 1
10. Знайдіть значення виразу і округліть:
1) 10,3•8,4 – 3,26•10,3 – до одиниць;
2) (32,7 – 8,49):30 – 0,657 – до десятих.
20. Знайдіть значення виразу 24,6:k – 1,16, якщо k =10.
30. Розв’яжіть рівняння 2х + 0,49 = 7,23.
4. Порівняйте значення виразів 3,6•8,2 – 3,12 і 65,3:4 + 3,585.
5. Із пунктів А і В одночасно назустріч один одному виїхали два мотоциклісти. Швидкість одного з них 40,6 км/год, а другого – 49,6 км/год. Мотоциклісти зустрілися через 3 години. Знайдіть відстань від пункту А до пункту В.
6*. Розв’яжіть рівняння (3z – 15,8)•4 = 14,8.
Варіант 2
10. Знайдіть значення виразу і округліть:
1) 8,11•3,2 – 5,24•3,2 - до десятих;
2) (56,3 – 7,94):60 + 0,506 – до сотих.
20. Знайдіть значення виразу 684,3:m – 4,93, якщо m = 6.
30. Розв’яжіть рівняння 2х - 6,25 = 3,8.
4. Порівняйте значення виразів 5,3•0,64 + 2,62 і 59,4:3 - 9,648.
5. Мотоцикліст і велосипедист одночасно виїхали в одному напрямі. Швидкість мотоцикліста 64,7 км/год, а велосипедиста – 15,8 км/год. Яка відстань буде між мотоциклістом і велосипедистом через 4 год руху?
6*. Розв’яжіть рівняння (х:24 + 7,56)•17 = 140,25.
Зроби все, що зможеш,
а в усьому іншому покладися на долю.
Японська мудрість
5-6 клас
1. Чотири хлопці приймали участь в забігу на 100 метрів. Одразу по завершенню забігу вони сказали кореспонденту газети таке:
• Андрій: «Я не був ні першим, ані четвертим».
• Богдан: «Я не був четвертим».
• Василь: «Я був першим».
• Грицько: «Я був четвертим».
Виявилося, що троє сказали правду. А один помилився. Хто з хлопців помилився? Вкажіть усі можливі варіанти.
2. Знайдіть число, яке отримується якщо від найбільшого трицифрового числа, у якого цифра одиниць у 4 рази більше від цифри сотень, відняти число, що у три рази більше від найбільшого парного двоцифрового числа.
3. Знайдіть усі трицифрові числа, які стають у 15 разів менше при викреслюванні середньої цифри.
4. Кубик з ребром 1 розрізаний на 27 менших кубиків зі стороною 1. Після цього маленький кубик був пофарбований у білий колір, а 6 інших – у чорний. Після цього з малих кубиків знову склали великий таким чином, щоб частина поверхні великого кубика мала якомога менше чорних шматків. Яку частину за таких умов від усієї площі поверхні куба утворюють чорні частини?
5. Розглянемо множину А , яка складається з усіх трицифрових чисел abc, цифри якої є трьома послідовними цілими числами у будь-якому порядку, наприклад, числа 354 та 765 належать множині A, а число 667 -- ні. Скільки усього чисел містить множина A?
6. Четверо студентів сіли з круглий стіл так, що між кожними сусідами була однакова кількість порожніх стільців. Коли шість студентів сіли за той самий стіл, то вони так само змогли сісти так, щоб між кожними сусідами була однакова кількість порожніх стільців, при цьому на 2 менше ніж в перший раз. Скільки усього стільців було розставлено за цим столом?
7. Запишіть в клітини таблиці 3x3 числа 1,2,3,...9 (по одному в кожну клітинку) таким чином, щоб сума трьох добутків чисел кожного рядку була непарною, а сума трьох добутків чисел кожного стовпчика ділилась на 16.
8. Відрізок АВ довжиною 1800 розташований горизонтально так, що його лівим краєм є точка А . На цьому відрізку вибрані точки С,D,E таким чином, що AC = BD = 1100 та AE у 3 рази більше за CD. В якому порядку зліва направо можуть бути розташовані точки A,B,C,D,E ?
9. Тарасик вирішив виписати по черзі деякі 100 натуральних чисел за таким правилом. Спочатку він написав число 1. Кожне наступне число має відрізнятися від попереднього рівно на 1 -- більше чи менше. Яким може бути останнє написане ним число? Вкажіть усі можливі відповіді.
10. Поштар розносив святкові картки 7 днів – з понеділка по неділю. При цьому він кожного наступного дня розніс удвічі більше мінус одна картка у порівнянні з попереднім днем. Наприклад, якщо в середу він розніс 50 карток, то в четвер мав рознести 99 . Скільки карток він розніс за тиждень, якщо в один з днів він розніс рівно 4 картки?
12. Прямокутник розрізаний на 9 менших прямокутників, як це показане на рис 1. Відомо, що сума периметрів сірих прямокутників дорівнює 8, а сума периметрів білих прямокутників – 10. Чому дорівнює периметр великого прямокутника?
13. Знайдіть усі можливі розфарбування чисел множини А={1,2,3,...10} у червоний та зелений колір, що задовольняють такі умови
• Число 5 -- червоне.
• Якщо х,у -- різного кольору та х+у <10, то х+у -- зелене.
• Якщо х,у -- різного кольору та ху <10 , то ху -- червоне.
14. Табличка множення містить множення чисел від 1 до 9 . Вчитель задав по черзі – Андрієві, Богдану, Василю, Ганусі та Даринці – по одному прикладу з цієї таблички, при цьому жодна дитина не отримала завдання на множення однакових чисел. Виявилося, що у кожного відповідь була у 2 рази більше від попереднього. Які числа множила Ганнуся? Вкажіть усі можливі відповіді.
15. Розшифруйте числовий приклад на множення, що записаний на рис. 2. У відповідь запишіть значення добутку.
*
|
*
| |||
х
| ||||
*
|
*
| |||
--------------------
| ||||
*
|
*
| |||
+
| ||||
*
|
*
|
*
| ||
--------------------
| ||||
9
|
*
|
*
|
*
| |
Рис. 2
| ||||
«Принцип Діріхле»
При розв’язуванні різних математичних задач застосовується спеціальний метод, що отримав назву: принцип Діріхле. Існує кілька формулювань даного принципу.
Найпопулярніше наступне:
«Якщо в n клітинах сидить m зайців, причому m> n, то хоча б в одній клітці сидять, принаймні два зайці».
Ще застосовується таке формулювання:
«Нехай в n клітинах сидять m зайців, причому n> m. Тоді знайдеться хоча б одна порожня клітка ».
Доводиться даний метод легко в 7 класі методом докази від протилежного.
На перший погляд, незрозуміло, чому це абсолютно очевидне твердження є потужним математичним методом розв’язування завдань, причому найрізноманітніших. Вся справа виявляється в тому, що в кожній конкретній задачі нелегко зрозуміти, що ж тут виступає в ролі «зайців», а що - в ролі «клітин». І чому треба, щоб «зайців» було більше, ніж «клітин». Вибір «зайців» і «клітин» часто неочевидний.
Далеко не завжди за формулюванням завдання можна визначити, що слід застосувати принцип Діріхле. Головна ж перевага даного методу розв’язування в тому, що він дає неконструктивне розв’язування , спроба ж дати конструктивне розв’язування призводить до великих труднощів. Розглянемо приклади різних завдань, що розв’язування за допомогою принципу Діріхле.
1)У класі 15 учнів. Доведіть, що знайдуться як мінімум 2 учні, які відзначають дні народження в один місяць.
2) Всередині рівностороннього трикутника зі стороною 1 см розташовано 5 точок. Доведіть, що відстань між деякими двома з них менше 0,5 см.
3) Дано 12 цілих чисел. Доведіть, що з них можна вибрати два, різниця яких ділиться на 11.
4) У килимі розміром 3х3 метра Коля виконав 8 дірок. Доведіть, що з нього можна вирізати килимок розміром 1х1 метр, який не містить в собі дірок. (Дірки можна вважати точковими.)
5) Дано 9 цілих чисел. Доведіть, що з них можна вибрати два, різниця яких ділиться на 8.
6) В класі 35 учнів. Чи можна стверджувати, що серед них знайдуться хоча б два учня, прізвища яких починаються з однієї літери?
7) У лісі росте мільйон ялинок. Відомо, що на кожній з них не більше 600 000 голок. Доведіть, що в лісі знайдуться дві ялинки з однаковою кількістю голок.
8) На дискотеку в студентський гуртожиток, в якому 42 кімнати, прийшло 36 гостей. Доведіть, що знайдеться кімната, в яку не прийшов жоден гість.
9) В класі 26 учнів, з них більш половини - хлопчики. Доведіть, що якісь 2 хлопчика сидять за одним столом, якщо в класі 13 столів.
10) Усередині правильного шестикутника зі стороною 1 см розташовано 7 точок. Доведіть, що відстань між деякими двома точками менше, ніж 1 см.
11) В вершинах квадрата записані числа 3,1,2,5. Дозволяється додавати до будь-яких двох числах, хто стоїть в квадраті, одне і те ж ціле число. Чи можна через кілька ходів отримати у всіх вершинах однакові числа?
12) Є два відра - одне місткістю 4 літри, інше 9 літрів. Чи можна набрати з річки рівно 6 літрів води?
Завдання - жарти.
1) Як одним мішком пшениці, змоловши його наповнити два таких же мішка?
2) Що це: дві голови, дві руки, шість ніг, а йдуть або біжать тільки чотири?
3) Якось у свято один знайомий сказав мені: «Позавчора мені було 40 років, а в майбутньому році виповниться 43 роки». Чи могло таке бути ?
Готуйся до заліку! Вивчи напам'ять!
Степені 2, 3,5 Квадрати чисел другого десятка
20 =1 30 =1 50 =1 112=121
21=2
31= 3 51=5 122
=144
22=4
32 =9 52=25 132
=169
23=8 33
=27 53=125 142=196
24=16 34=81 54=625
25=32 35=243 152=225
26=64
162=256
27=128
172=289
28=256
29=512
182=324
210=1024
192=361
Підготуйся до КР! Тренувальні варіанти.
10. Знайдіть значення виразу і округліть:
1) 10,3•8,4 – 3,26•10,3 – до одиниць;
2) (32,7 – 8,49):30 – 0,657 – до десятих.
20. Знайдіть значення виразу 24,6:k – 1,16, якщо k =10.
30. Розв’яжіть рівняння 2х + 0,49 = 7,23.
4. Порівняйте значення виразів 3,6•8,2 – 3,12 і 65,3:4 + 3,585.
5. Із пунктів А і В одночасно назустріч один одному виїхали два мотоциклісти. Швидкість одного з них 40,6 км/год, а другого – 49,6 км/год. Мотоциклісти зустрілися через 3 години. Знайдіть відстань від пункту А до пункту В.
6*. Розв’яжіть рівняння (3z – 15,8)•4 = 14,8.
Варіант 2
10. Знайдіть значення виразу і округліть:
1) 8,11•3,2 – 5,24•3,2 - до десятих;
2) (56,3 – 7,94):60 + 0,506 – до сотих.
20. Знайдіть значення виразу 684,3:m – 4,93, якщо m = 6.
30. Розв’яжіть рівняння 2х - 6,25 = 3,8.
4. Порівняйте значення виразів 5,3•0,64 + 2,62 і 59,4:3 - 9,648.
5. Мотоцикліст і велосипедист одночасно виїхали в одному напрямі. Швидкість мотоцикліста 64,7 км/год, а велосипедиста – 15,8 км/год. Яка відстань буде між мотоциклістом і велосипедистом через 4 год руху?
6*. Розв’яжіть рівняння (х:24 + 7,56)•17 = 140,25.
Комментариев нет:
Отправить комментарий